Math-Objekt

Hier sind ab jetzt vor allem Algorithmen zum numerischen Lösen von mathematischen Problemen zu finden. Allen Algorithmen sind von dieser Seite aus verwendbar, natürlich sind sie auch zum Download bereitgestellt. Die Algorithmen werden unter einem Objekt "Math2" zusammengefasst.

• Gaußscher Algorithmus mit teilweiser Pivotisierung
  
• Gauß-Jordan-Verfahren mit teilweiser Pivotisierung
  
• Newton-Verfahren
  
• download Math2-Objekt
  
• Kommentar
  

Gaußscher Algorithmus mit teilweiser Pivotisierung

• Quellcode
  
• Beispiel
  

function Math2_Gauss(A, b, eps)
  {
  var n = A.length-1
  var p, maxp, maxz, z, i, q, k, s;
  var x = new Array(A.length);
  for(var is = 0; is < n; is++)  // Pivotisierung
    {
    p = is;
    maxp = Math.abs(A[p][is]);
    for(i = is+1; i <= n; i++)  // Pivotelement p suchen
      {
      maxz = Math.abs(A[i][is]);
      if(maxz > maxp)
        {
        maxp = maxz;
        p = i;
        }
      }
    if(maxp > eps)  // Prüfen ob größer Null bzw. Epsilon
      {
      if(p != is)  // Zeilen tauschen
        {
        z = A[is];
        A[is] = A[p];
        A[p] = z;
        z = b[is];
        b[is] = b[p];
        b[p] = z;
        }
      }
      else
        {
        alert("Fehler bei Lösung des Gleichungssystem:\n\n\tdet(A) = 0\n\tPivotelement = 0");
        return null;
        }
    for(i = 1+is; i <= n; i++)  // Gaußscher Algorithmus
      {
      q = A[i][is]/A[is][is];
      for(k = is+1; k <= n; k++) A[i][k] = A[i][k] - q*A[is][k];
      b[i] = b[i] - q*b[is];
      }
    }
  if(Math.abs(A[n][n]) >= eps)
    {
    for(i = n; i > -1; i--)  // Rückwertsauflösung
      {
      s = 0;
      for(k = i+1; k <= n; k++) s += A[i][k]*x[k];
      x[i] = (b[i]-s) / A[i][i];
      }
    }
    else
      {
      alert("Fehler bei Lösung des Gleichungssystem:\n\n\tdet(A) = 0");
      return null;
      }
  return x;
  }
  

Gauß-Jordan-Verfahren mit teilweiser Pivotisierung

• Quellcode
  
• Beispiel
  

function Math2_GaussJordan(A, b, eps)
  {
  var n = A.length-1;
  var is, k, i, ism1, Q;
  for(is = 0; is <= n; is++)
    {
    // Pievotisierung:
    p = is;
    maxp = Math.abs(A[p][is]);
    for(i = is+1; i <= n; i++)  // Pivotelement p suchen
      {
      maxz = Math.abs(A[i][is]);
      if(maxz > maxp)
        {
        maxp = maxz;
        p = i;
        }
      }
    if(maxp > eps)  // Prüfen ob größer Null bzw. Epselon
      {
      if(p != is)  // Zeilen tauschen
        {
        z = A[is];
        A[is] = A[p];
        A[p] = z;
        z = b[is];
        b[is] = b[p];
        b[p] = z;
        }
      }
      else
        {
        alert("Fehler bei Lösung des Gleichungssystem:\n\n\tdet(A) = 0\n\tPivotelement = 0");
        return null;
        }
    // GaussJordan:
    for(k = is+1; k <= n; k++) A[is][k] = A[is][k]/A[is][is];
    b[is] = b[is]/A[is][is];
    ism1 = is-1;
    for(i = 0; i <= ism1; i++)
      {
      Q = A[i][is];
      for(k = is+1; k <= n; k++)
        {
        A[i][k] -= Q*A[is][k];
        }
      b[i] -= Q*b[is];
      }
    for(i = is+1; i <= n; i++)
      {
      Q = A[i][is];
      for(k = is+1; k <= n; k++)
        {
        A[i][k] -= Q*A[is][k];
        }
      b[i] -= Q*b[is];
      }
    }
  return b;
  }
  

Newton-Verfahren

• Quellcode
  
• Beispiel
  

function Math2_Newton(A, x2, itermax, eps1, eps2)
  {
  var x1;
  var fx, fsx;
  var B, C, i, nm1;
  var iter = 0;
  do
    {
    if(iter < itermax)
      {
      iter++;
      x1 = x2;

      // Horner-Schema für Funktionswert und Wert der ersten Ableitung:
      B = A[0]*x1 + A[1];
      C = A[0]*x1 + B;
      nm1 = A.length-1;
      for(i = 2; i < nm1; i++)
        {
        B = B*x1 + A[i];
        C = C*x1 + B;
        }
      fx = B*x1 + A[nm1];
      fsx = C;

      // Division durch NULL verhinern:
      if(fsx == 0)
        {
        alert("Division durch NULL\nProgrammabbruch");
        return x2;
        }

      x2 = x1 - fx/fsx;
      }
    else
      {
      alert("ITERMAX erreicht\nProgrammabbruch");
      return x2;
      }
    } while(Math.abs(fx) > eps1 && Math.abs(x2-x1) > eps2);
  return x2;
  }